Als ich die Mathematik kennenlernte:
Da gab es Zahlen, natürliche Zahlen, positive und negative,
ganze und gebrochene, rationale und irrationale Zahlen und so weiter,
Operationen und Funktionen, Punkte, Kreise und Geraden und so weiter,
alles schön definiert.
Als ich die Musik neben dem Hören, Singen und Musizieren auch verstehen wollte:
Da gab es Noten und Töne, Dur und Moll, weiße und schwarze Tasten,
Intervalle und Tonleitern und so weiter,
alles schön erklärt.
Bis auf die Noten und Töne, die ja nun nicht gerade nebensächlich
in der Musik sind. Mathematische Sauberkeit? Nun ja!
Die Tonleiter beginnt mit C statt mit A.
Die Töne ab A heißen nicht A, B, C sondern A, H, C.
Die 4 Töne ab C heißen nicht C, D, E, F sondern C, Cis/Des, D, Dis/Ees
Das Intervall von Ganzton zu Ganzton kann bei D zu E ein Ganzton
oder von E zu F ein Halbton sein.
Der Ton zwischen C und D kann Cis oder auch Des heißen.
Ich überlegte mit welchen Wörtern
(beim Hornspiel naheligend nur gedacht statt gesprochen)
ich die Frequenz im inneren Ohr
mit dem Ton verbinden könnte.
Da die sprachliche Darstellung mit Buchstaben
(be ce de ge) eine schlechte lautliche Trennung hat,
würde die Solmisation eine kleine Abhilfe bringen,
aber nicht das Is-Es-Problem lösen.
Ach wäre es einfach ohne die Is- und Es-Anhänge der Töne
und mit gleichgroßen Intervallen zwischen den Tönen.
Eine visuelle Tonvorstellung, wie mit den Notenköpfen im Liniensystem,
wäre vielleicht hilfreich,
müsste man dabei nicht die Tonartenbezeichner am Anfang des Stückes mit bedenken.
Da kam mir ein Blick auf ein Uhrzeigerblatt zuhilfe!
Die Zahl Zwölf! "Das ist es." sagt der Zauberer Merlin
in dem Film Excalibur.
Ich brauchte jetzt nur noch die Töne auf die Ziffern zu legen
und konnte sie sowohl mit dem physischen als auch mit dem inneren Auge zuordnen.
Hier das Ergebnis:
Von der Uhr über die Tonleiter zur Spirale
Übersichtlichkeitshalber sind nur die Töne C u A dargestellt.
In der roten Spirale ist der Radius frequenzproportional dargestellt.
r (c') = 440 / 2^(9/12) ≙ 261.62 Hz
r (a') = ≙ 440.00 Hz
r (c'') = 440 * 2^(3/12) ≙ 523.25 Hz
Im Folgenden verbinde ich
die exponentielle Spirale
mit der exponentiellen Tonleiter
(musikerüblich gleichstufig oder temperiert genannt)
und mit der rationalen Tonleiter (üblich reine Stimmung genannt).
Exponentialfunktion
Die blaue Kurve ist die skalare Exponentialfunktion
und die rote Kurve ist der entsprechende vektorielle Graph.
Dabei sind r der Radiusvektor und w der Winkel,
der in der Graphik 3 Umdrehungen von -1 bis 2 durchläuft.
Die exponentiale Tonspirale
2^( 0/12) = 1.00 ≙ 261.6 Hz ≙ C
...
2^( 9/12) = 1.68 ≙ 440.0 Hz ≙ A
...
2^(12/12) = 2.00 ≙ 523.3 Hz ≙ C'
Die rationale Tonspirale
In der rationalen Tonleiter sind die Frequenzverhältnisse
der Intervalle rationale Zahlen (Bruchzahlen mit kleinen Zählern und Nennern).
Die rationale Tonleiter wird auch häufig reine Stimmung genannt.
12 Halbtöne = Oktave = 1 / 2 C --> Cs
7 Halbtöne = Quinte = 2 / 3 C --> G F --> Cs
5 Halbtöne = Quarte = 3 / 4 C --> F G --> Cs
4 Halbtöne = GrTerz = 4 / 5 C --> E F --> A
3 Halbtöne = KlTerz = 5 / 6 E --> G A --> Cs
9 Halbtöne = Sexte = 3 / 5 C --> A
Vorstehende Töne können "rein" gespielt werden.
die Halb- und Ganztöne sind mehrdeutig:
Die beiden Ganztonintervalle F-->G und G-->A sind verschieden groß:
F-->G = 9/8 und G-->A = 10/9.
Die große Terz von C nach E kann mit D
unterschiedlich in zwei Ganztöne unterteilt werden:
großer Ganzton plus kleiner Ganzton oder umgekehrt.
9/8 * 10/9 = 5/4 oder
10/9 * 9/8 = 5/4.
Ich schlage vor, die Ganztonabfolge CDE
gleich zu FGA anzulegen, also erst großer Ganzton dann kleiner Ganzton.
Das hat auch den Vorteil,
dass D erstaunlich gut in die exponentielle Tonleiter passt.
Frage:
Wie gut ist der Unterschied zwischen den beiden Tonleitern,
der in der Grafik erkennbar ist,
bei E und A zu hören?
