\documentclass[12pt]{article}
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\parskip1mm
\begin{document}
\centerline{\Large\it Alles Neun oder was?}

Wenn man eine Zahl mit Neun malnimmt und dann wiederholt die Quersumme bildet,
erhält man Neun. Beispiel

\centerline{33 * 9 = 297; \ \ 2 + 9 + 7 = 18; \ \ 1 + 8 = 9; \ \ Ach!}

Hier nun der Beweis, dass das für beliebige natürliche Zahlen gilt.
Das wiederholte Quersummieren kann für den Beweis auf einfaches Quersummieren
verkürzt werden, weil der Satz

\vspace{2mm}\centerline{\fbox{
Die Quersumme eines Neunervielfachen ist wieder ein Neunervielfaches.
}}\vspace{2mm}

wenn er denn stimmt, trivialerweise auch beim Wiederholen seine Gültigkeit behält.
Sei $ x $ eine beliebige natürliche Zahl nach Voraussetzung.
$ x * 9 $ ist ebenfalls eine natürliche Zahl.
Für jede natürliche Zahl gibt es eine Polynomdarstellung von Zehnerpotenzen.
Es gilt daher

\begin{equation}
\frac{ a_0 * 10^n + a_1 * 10^{n-1} + \ldots\ + a_n * 10^0 }{9} \in \cal N
\end{equation}

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe der Koeffizienten
des Zehnerpotenzenpolynoms.
Wenn diese Quersumme ein Neunervielfaches sein soll,
muss die Division durch Neun eine natürliche Zahl sein.

\begin{equation}
\frac{ a_0 + a_1 + \ldots\ + a_n }{9}  \in \cal N
\end{equation}

Als hinreichende Bedingung dafür, dass (2) eine natürliche Zahl ist,
kann gelten, dass die Differenz von (1) und (2) eine natürliche Zahl ist.
Es muss also ein natürliches z existieren, für das gilt

\begin{equation}
(\frac{a_0 * 10^n}{9} + \frac{a_1 * 10^{n-1}}{9} + \ldots + \frac{a_n * 10^0}{9})
    - (\frac{a_0}{9} + \frac{a_1}{9} + \ldots + \frac{a_n}{9}) = z
\end{equation}

Umformen: $a_i$ -Glieder zusammenfassen, das $a_n$ -Glied subtrahiert sich heraus, die übrigen $a_i$ -Glieder
werden ausgeklammert.

\begin{equation}
\frac{a_0 * (10^n - 1)}{9} + \frac{a_1 * (10^{n-1} - 1)}{9}
+ \ldots + \frac{a_{n-1} * (10^1 - 1)}{9} = z
\end{equation}

Da eine Zehnerpotenz (Exponent $>$ 0) minus 1 ein Neunervielfaches ist,
lassen sich alle Glieder ganzzahlig durch 9 kürzen. $z$ ist daher natürlich.

Q. e. d.

\end{document}
