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Konstruiere mit Zirkel und Lineal
aus einem gegebenen Quadrat ein flächengleiches Rechteck
mit dem Seitenverhältnis 1 zu √2
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Konstruktion:
Gegeben sei das Quadrat ABCD
Gerade AB= Gerade durch A und B
Gerade CB= Gerade durch C und B
Punkt E = Kreis mit Mittelpunkt um A und Radius Strecke AC
schneidet Gerade AB
(Wie kann von den beiden Schnittpunkten E und E'
der gewünschte Punkt E gewählt werden?)
Punkt T = Mitte zwischen A und E
Kreis K = Schlage einen Thaleskreis T über der Strecke AE.
Punkt F = Schneide die Gerade BC mit dem Thaleskreis K
Gerade AF= Gerade durch die Punkte A und F
Gerade L = Fälle vom Punkt B das Lot L auf die Gerade AF.
Punkt G = Schneide Gerade AF mit Gerade L
Punkt H = Gerade BG schneidet Kreis um G mit Radius AF
Punkt I = Vervollständige Rechteck
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1. Das Zeichen ^ (ASCII-Code x5E) potenziert den Linksoperanden (Basis) mit dem Rechtsoperanden (Exponent) z.B. 3^2 = 9. 2. Das Quadrieren kann auch mit hochgestellter Zwei ² (Unicode 178) notiert werden z.B. 3² = 9. 3. Als Multiplikationzeichen können Mal-Punkt· (Unicode 183) oder Mal-Kreuz × (Unicode 215) verwendet werden. 4. Als Divisionszeichen können ÷ (Unicode 247) oder Doppelpunkt : oder Schrägstrich / verwendet werden. 5. Das Unicodezeichen √ = U+221A bedeutet in der Präfixnotation z.B. √2=1.414... die Quadratwurzel. Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelzeichen Es ist naheliegend, einen evtl. vorhandenen Linksoperanden in der Infixnotation als Wurzelexponent zu interpretieren z.B. 3√8=2 (sprich: Dritte Wurzel acht gleich zwei).
Es werden Höhensatz und Kathedensatz von Euklid genutzt.
Das vorgegebene Quadrat hat praktischerweise die Fläche √2.
Dann muss nur noch gezeigt werden, dass das Rechteck
die Seitenlängen 1 und √2 hat.
--- Die Namen der Punkte, Geraden, Seiten, und Dreiecke
--- müssen noch an obige Grafik angepasst werden.
1. Im Zentrum steht das Dreieck ABC
mit den Seiten a, b, c = p+q.
2. Aus der Quadratfläche a^2 = √2 folgt
a = √(√2) = 4√2 (sprich: 4te Wurzel 2)
3. Die Quadratdiagonale d errechnet sich:
d = √(a²+a²)
= √(2×a²)
= √2 × a
= √2 × 4√2
= 4√4× 4√2
= 4√8 (sprich: 4te wurzel 8)
4. Im Thaleskreis gilt für das Dreieck BFA
nach dem Höhensatz
b² = a × (d - a )
= a × d - a²
= 4√2 × 4√8 - √2
= 4√(2×8) - √2
= 2 - √2
5. Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt nach Pythagoras
c² = a² + b²
= √2 + 2 - √2
= 2 Es folgt:
c = √2
6. Im rechtwinkligen Dreieck ABC
gilt nach dem Kathedensatz
q × c = a² Es folgt:
q = a² ÷ c
= √2 ÷ √2
= 1
7. Für die lange Rechteckseite gilt
BI = BA = c = √2
8. Flächen nach Kathetensatz gleich
q· c = a²
1·√2 = √2
q.e.d.
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